Hipótesis

Pruebas de hipótesis

(o "ensayos de hipótesis" o "tests de hipótesis")

Más precisamente, tomaremos dos hipótesis mutuamente excluyentes Ho y HA

("hipótesis nula" e "hipótesis alternativa") y analizaremos si en base a lo que

observamos en la muestra, se puede o no rechazar la hipótesis nula Ho frente a la

hipótesis alternativa HA.

Por ejemplo, si la hipótesis Ho dice "la media de la población es 10" y la hipótesis

alternativa dice "la media de la población es mayor que 10", analizaremos si

debemos rechazar Ho frente a la hipótesis alternativa. Es decir, si en base a los datos

que obtenemos de la muestra (y a los riesgos que estamos dispuestos a correr) es

más razonable HA que Ho. Por otra parte, el hecho de no rechazar Ho no implicará

necesariamente aceptarla, porque el hecho de aceptarla también conlleva un cierto

nivel de riesgo.

Justamente, al igual que para definir un intervalo de confianza teníamos que adoptar

un nivel de confianza, para efectuar un ensayo de hipótesis debemos adoptar un

determinado nivel de riesgo. Antes de definir los riesgos, veamos cuáles son los

dos errores posibles que podríamos cometer al tomar la decisión de rechazar o no

rechazar Ho:

· Rechazar Ho cuando en realidad era verdadera. (Error tipo I).

· No rechazar Ho cuando en realidad era falsa. (Error tipo II).

Elección de H0 (hipótesis nula)

La decisión de cuál de las dos hipótesis será elegida como H0 depende de cuáles

sean los tipos de hipótesis involucradas. Dadas dos hipótesis entre las cuatro más

comunes, la forma de elegir cuál de las dos hipótesis se elige como H0 es la

siguiente:

· Cuando una de las hipótesis es por igual, entonces esa se elige como H0.

· Si las dos son por igual, se elige como H0 la que más "lejos" tenga al estimador.

(Ej.: si las hipótesis son "p = 30" y "p = 50", y tenemos que pˆ

= 45, elegiremos

como H0 a la hipótesis "p = 30".

· Si una es por menor y la otra por mayor, se elige H0 con el mismo criterio que en

el punto anterior: se elige como H0 la que más "lejos" tenga al estimador. Luego, la

que sea elegida como H0 será tratada a los fines prácticos como por igual en vez de

por mayor o por menor.

Cualquier otra combinación de los 4 tipos de hipótesis comunes dados no es

posible, debido a que las dos hipótesis no resultarían mutuamente excluyentes

como se requiere.

Interpretación gráfica

· Para el caso de que la prueba sea por igual contra mayor:

· Para el caso de que la prueba sea por igual contra menor:

· Para el caso de que la prueba sea por igual contra distinto:

Pruebas a una cola y a dos colas

Vemos que en las pruebas contra mayor y contra menor, estamos tomando la

probabilidad de una sola cola de la normal, y que en la prueba contra distinto

estamos tomando la probabilidad de dos colas de la normal. Es por eso que a

veces se habla de pruebas "a una cola" y "a dos colas". La prueba "a dos colas" es

la contra distinto. Las demás son "a una cola".

Hipótesis simples y compuestas

Llamaremos hipótesis simples a aquellas que especifican un único valor para el parámetro (por ejemplo m=m0).

Llamaremos hipótesis compuestas a las que especifican un intervalo de valores (por ejemplo: m>m0; a< m <b)

Se ha definido un contraste de hipótesis como:

Donde (espacio paramétrico) y

Diremos que la hipótesis Hi es simple si contiene un único punto, y diremos que la hipótesis Hi es compuesta si contiene más de un valor.

En particular, si entonces el tamaño del contraste es igual a

Entonces si un contraste tiene hipótesis nula simple, el tamaño del contraste es el valor de la función de potencia en, y por tanto la probabilidad de rechazar la hipótesis nula si es cierta será.

Contrastes de hipótesis simples

Diremos que un contraste es de hipótesis simple cuando las hipótesis nula y alternativa son de la forma,

En este caso. La función de potencia sólo tiene los valores y

Asociada a un contraste de hipótesis simples existen 2 tipos de error:

·  rechazar H0 cuando es cierta. (Error de Tipo I)

·  aceptar H0 cuando en realidad es falsa (Error de Tipo II)

Sies un contraste para frente a basada en una región crítica C, los dos tipos de errores tienen las siguientes probabilidades

(Probabilidad de error del tipo I)

(Probabilidad de error del tipo II)

El objetivo obvio es encontrar un contraste que minimice. Es claro que podemos conseguir contrastes que hagan. Para ello basta con aceptar siempre que C = 0. Pero entonces:

(Todo el conjunto de resultados) = 1